[Ajuda] Projeto MD

Me ajudem a resolver o seguinte Projeto:

Matemática Discreta
IME/UERJ – 09-II

Projeto I

Estude as afirmações que seguem, no sentido de analisá-las, demonstrá-las ou apontar seus erros, se existirem.

Seja X um conjunto com a
Propriedade A: “E possí encontrar uma coleção de subconjuntos próprios de X , denotada por A , tal que qualquer um desses subconjuntos está contido propriamente em algum subconjunto também pertencente a A.

Tem-se então que vale o seguinte:
Teorema 1: Nessas condições, X é necessariamente um conjunto infinito.

A recíproca do Teorema 1 é verdadeira. Em outras palavras, tem-se o
Teorema 2: Dado um conjunto infinito qualquer, ele possui a Propriedade
A acima descrita.

O que estamos afirmando é que temos uma outra definição de conjunto infinito, equivalente à que foi adotada¹. Em outras palavras, pode ser usada a
Definição 1: Dizemos que um conjunto é infinito se e só se ele possui a Propriedade A.

E, consequentemente, podemos utilizar como alternativa a
Definição 2: Dizemos que um conjunto é finito se e só se ele não possui a Propriedade A.

1-Definiu-se um conjunto como infinito quando existir uma correspondência biunívoca
entre ele e um de seus subconjuntos próprios.

Obrigado !