Trigonometria - Identidade

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Trigonometria - Identidade

Mensagem por DouglasM em Sex Nov 20, 2009 5:16 am

Bom dia a todos, acabo de me unir a esse fórum, e fico muito contente de haver um espaço deste tipo na internet! =)

Gostaria de pedir ajuda em uma questão que não tenho conseguido resolver. Ela consiste em provar a seguinte identidade:

cossec^6 x - cotg^6 x = 1 + 3. cotg²x . cossec²x

Desde já agradeço.
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DouglasM

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Re: Trigonometria - Identidade

Mensagem por eng.nicolas em Dom Out 03, 2010 11:55 am

caro jovem isso vai dar um certo trabalho mas esta é a resposta :

cossec^6 - cotg^6

csc^2 . csc^2 . csc^2 - cotg^2 . cotg^2 . cotg^2

das relações trigonometricas vc tera q :

cotg^2 + 1 = csc^2

então:

csc^2 . (cotg^2 + 1).(cotg^2 + 1) - [ cotg^2 . (csc^2 - 1).(csc^2 - 1)]
(csc^2.cotg^2 + csc^2) .(cotg^2 +1) - [ cotg^2.csc^2 - cotg^2 . (csc^2-1)]
csc^2.cotg^2.cotg^2 + csc^2.cotg^2 +csc^2.cotg^2 + csc^2 - [ cotg^2.csc^2.csc^2 - cotg^2.csc^2 - cotg^2.csc^2 + cotg^2 ]

juntando os termos iremos ter:
csc^2.cotg^2.cotg^2 + 2.csc^2.cotg^2 + csc^2 - cotg^2.csc^2.csc^2 + 2.csc^2.cotg^2 - cotg^2

então:
csc^2.cotg^2.cotg^2 + 4.csc^2.cotg^2 + csc^2 - cotg^2 - cotg^2.csc^2.csc^2

csc^2.(csc^2 - 1 ).cotg^2 + 4.csc^2.cotg^2 + csc^2 - cotg^2 - cotg^2.csc^2.csc^2

(csc^2.csc^2 - csc^2).cotg^2 +4.csc^2.cotg^2 + csc^2 - cotg^2 - cotg^2.csc^2.csc^2

csc^2.csc^2.cotg^2 - csc^2.cotg^2 + 4.csc^2.cotg^2 + csc^2 - cotg^2 - cotg^2.csc^2.csc^2

finalmente teremos q :

4csc^2.cotg^2 - csc^2.cotg^2 +csc^2 - cotg^2
3.csc^2.cotg^2 + 1

note : csc^2 - cotg^2 = 1

qualquer duvida mande um email para nicolasfesp@hotmail.com


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